21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、复习引入
1.已知方程x2-ax-3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值.
2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系,这种关系比较复杂,是否有更简洁的关系?
3.由求根公式可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=,x2=.观察两式右边,分母相同,分子是-b+与-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?
二、探索新知
解下列方程,并填写表格:
方程 |
x1 |
x2 |
x1+x2 |
x1·x2 |
x2-2x=0 |
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x2+3x-4=0 |
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x2-5x+6=0 |
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观察上面的表格,你能得到什么结论?
(1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q之间有什么关系?
(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间又有何关系呢?你能证明你的猜想吗?
解下列方程,并填写表格:
方程 |
x1 |
x2 |
x1+x2 |
x1·x2 |
2x2-7x-4=0 |
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3x2+2x-5=0 |
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5x2-17x+6=0 |
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小结:根与系数关系:
(1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q的关系是:x1+x2=-p,x1·x2=q(注意:根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.)
(2)形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程,可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论.